Fevereiro

Básico

Com apenas três movimentos (três cortes), corte um bolo em 8 pedaços.

bolo

Secundário

Uma caixa triangular tem dentro uma esfera de raio 1 cm. A esfera parte de um canto e rola sempre encostada às paredes da caixa.

Que distância percorre a esfera para dar uma volta completa à caixa?

fevereiro1

Desafio do Clube da Oficina da Matemática
A pirâmide mágica!
O Zéfiro brinca com uma pirâmide mágica, em que as posições a verde são preenchidas sempre que ele coloca um número inteiro
qualquer na posição a vermelho, como mostra a figura abaixo:
piramidemagica

Que números deve o Zéfiro inserir na posição a vermelho, para que no topo surjam o 84 e o 44?
Descobre como se podem escrever os números que aparecem no topo e usa essa conclusão para explicar por que razão esse nunca é o 48.
Estende o teu raciocínio para pirâmides com 5 ou 6 posições na base.

Dica: Tenta perceber como se obtêm os números nas posições a verde.

Resoluções
Básico:

Dois cortes na vertical e um corte na horizontal seriam suficientes.

Secundário:

Uma das maneiras mais simplesde resolver estes problema, tem por base a seguinte figura:

triangulo1

Como a esfera tem 1 cm de raio o seu centro percorre o triângulo DEF semelhante ao triângulo original. Os lados do novo triângulo serão:
7-x ; 5-y e 10-x-y. Como nos dois triângulos os lados terão de ser proporcionais teremos:

a

 Clube da Oficina da Matemática:
O número no topo do triângulo aumenta 8 unidadesquando aumentamos o valor na posição inicial encarnada de uma unidade. Para verificar isto podemos usar o
diagrama auxiliar apesentada a seguir, que simula a situação em que começamos com o valor n, vindo a obter o valor 8n+12 no topo.
piramidemagicasol
Assim, se usarmos n+1 na primeira posição iremos obter 8n+8+12=8n+20.
De acordo com o diagrama, o número no topo é sempre resultado da multiplicação de um número ímpar por 4, uma vez que 8n+12=4*(2n+3). Ora 48/4=12 não é um
número ímpar, portanto não existe nenhum inteiro capaz de conduzir ao valor 48 na posição do topo do triângulo.
Do mesmo modo, para descobrir comoobter 84 no cimo do triângulo é preciso saber qual o valor de n tal que 8n+12=84. Esta equação é equivalente a 8n=72 e n=9,
portanto concluímos que a posição encarnada deve conter o número 9.
Por outro lado, 8*4+12=44, donde a primeira posição deverá ser 4, de modo a obter 44 no topo.

Supondo agora que a base da pirâmide tem 5 ou 6 posições, podemosd fazer um esquema semelhante ao anterior. Desse modo concluimos que com 5 posições na base
o número no topo é 16n+32, enquanto que quando a pirâmide tiver 6 posições na base esse número é dado por 32n+80.

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