Março

Básico

Uma torneira leva uma hora a encher um tanque. Outra torneira leva duas horas a encher o mesmo tanque.

Uma terceira torneira leva três horas a encher o mesmo tanque.

Se as três torneiras forem abertas simultaneamente, quanto levam a encher o tanque?

Secundário

Um barqueiro queria passar, de uma margem para a outra do rio, um lobo, uma cabra e um molho de couves, mas no barco
não cabia senão uma coisa de cada vez.

Como resolveu o homem a dificuldade, dado que não podia o lobo ficar com a cabra, nem a cabra com o molho de couves
sozinhos na margem?

Desafio do Clube da Oficina da Matemática


Medindo a Terra!

Há mais de 2200 anos um matemático Grego, de nome Eratóstenes, determinou o raio da Terra por um processo que
envolveu a observação do Sol em duas cidades egípcias: Assuão (antigamente Siena) e Alexandria.
Eratóstenes tinha conhecimento de que em Assuão, ao meio-dia do Solstício de Verão, o Sol se encontrava a pique,
uma vez que iluminava a água de um poço. Entretanto, o matemático observou que, à mesma hora e dia, um pilar vertical
existente em Alexandria projectava uma sombra. Tal como o próprio Eratóstenes terá correctamente concluído,
isto deve-se ao facto da Terra ser esférica.
terra
Observa a figura e considera que:
• Al é Alexandria,
• As é Assuão,
• C é o centro da Terra,
• a é o ângulo entre o raio solar e o pilar vertical (representado a verde).
Eratóstenes sabia que a distância entre Assuão e Alexandria era aproximadamente 930 km, mediu o ângulo a obtendo 7o,
e conseguiu determinar o raio da Terra. Qual o valor que encontrou?
Compara esse valor com o raio da Terra conhecido actualmente.

Dica:
O perímetro de uma circunferência de raio r é dado por 2 × pi × r, onde  pi = 3.1415926.
Repara na relação entre a e o ângulo definido pelos segmentos de recta que unem o centro da Terra (C) às cidades de
Alexandria e Assuão.

Resoluções
Básico:

Suponhamos que as três torneiras estiveram abertas durante 6 horas.
Então a torneira1 poderia encher 6 tanques iguais ao inicial, a torneira2 poderia encher 3 tanques e a torneira3 encheria 2 tanques.
Logo se as torneiras fossem abertas, em simultâneo, durante 6 horas encheriam 11 tanques.

Fazendo uma proporção teríamos então: 6/11 = x/1, ou seja, x = 6/11. 

Logo as três torneiras demorariam a encher o tanque 6/11 horas.

Secundário:

Uma das estratégias possíveis seria:

O barqueiro:

  • Uma Leva para a 2ª margem a cabra;
  • Volta para a 1ª margem e transporta o lobo;
  • ao chegar à 2ª margem deixa o lobo e leva a cabra consigo no barco;
  • de volta à 1ª margem, deixa a cabra e transporta consigo a couve;
  • na 2ª margem deixa a couve juntamente com o lobo;
  • por fim, volta à 1ª margem para tranasportar a cabra.

 

 Clube da Oficina da Matemática:
Medindo a Terra!

Uma vez que, à hora indicada, os raios incidem sobre a Terra de forma paralela à do segmento que une C a As, o ângulo a = 7o tem amplitude igual à do ângulo definido
pelos segmentos de recta que unem C a Al e As.
Mas, como a Terra é esférica e a distância de Alexandria a Assuão é de 930km, que correspondem a 7o, então o perímetro da Terra, correspondente a 360o é:
(930 × 360) / 7  km.

Ora, como o peímetro da circunferência é dado por 2 × pi × r, onde r representa o raio, temos:
2 × pi × r = (930 × 360) / 7, donde
equacao1

E concluímos que o valor do raio da Terra determinado por Eratóstenes foi aproximadamente 7612 km.

Hoje em dia considera-se que o valor do raio da Terra é 6378 km.

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